Quand on écrit « 100 en binaire », deux lectures sont possibles et elles mènent à des valeurs très différentes. 100 écrit en base 2 vaut quatre en décimal, car il représente 1×2². Mais si l’on cherche comment écrire le nombre cent en binaire, la réponse est 1100100.
Cette ambiguïté est la première chose à clarifier avant d’ouvrir une table de conversion ou de déboguer un calcul. Les deux cas se rencontrent régulièrement en programmation bas niveau, en réseaux et en électronique numérique, et les confondre génère des bogues difficiles à tracer.
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Comprendre la base 2 : ce que chaque bit représente
En décimal, chaque position d’un nombre correspond à une puissance de 10 : unités, dizaines, centaines. En binaire, le même principe s’applique avec des puissances de 2. La position la plus à droite vaut 1 (2⁰), la suivante vaut 2 (2¹), puis 4 (2²), 8 (2³), et ainsi de suite. Un nombre binaire à n chiffres peut donc représenter au maximum 2ⁿ valeurs distinctes.
La méthode des puissances de 2 s’applique aussi bien à des nombres d’un seul chiffre qu’à des entiers de plusieurs dizaines de bits. Comprendre ce mécanisme de position évite de dépendre d’un outil externe pour des conversions courantes.
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Pour lire 1100100 en binaire, on décompose position par position en partant de la droite : 0×1 + 0×2 + 1×4 + 0×8 + 0×16 + 1×32 + 1×64 = 4 + 32 + 64 = 100. La méthode des puissances de 2 est la seule voie fiable pour convertir sans erreur.
Table de conversion binaire pour les valeurs clés à mémoriser
Certaines valeurs reviennent constamment en informatique. Les connaître évite de recalculer à chaque fois et accélère la lecture de masques réseau, d’adresses mémoire ou de paramètres système.
| Décimal | Binaire | Remarque |
|---|---|---|
| 0 | 0 | Zéro absolu |
| 1 | 1 | Bit seul actif |
| 4 | 100 | 100 en base 2 |
| 8 | 1000 | Puissance de 2 |
| 16 | 10000 | Puissance de 2 |
| 32 | 100000 | Puissance de 2 |
| 64 | 1000000 | Puissance de 2 |
| 100 | 1100100 | Cent en décimal |
| 128 | 10000000 | Puissance de 2, 1 octet seuil |
| 255 | 11111111 | Valeur max sur 8 bits non signé |
| 256 | 100000000 | 2⁸, début du 9e bit |
Les puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256…) forment la colonne vertébrale du système binaire. Reconnaître leur écriture en binaire – toujours un 1 suivi de zéros – rend la lecture d’un nombre beaucoup plus rapide.
Convertir un nombre décimal en binaire : méthode des divisions successives
On divise le nombre par 2 et on note le reste à chaque étape. On lit les restes de bas en haut pour obtenir l’écriture binaire. Exemple avec 100 :
- 100 ÷ 2 = 50, reste 0
- 50 ÷ 2 = 25, reste 0
- 25 ÷ 2 = 12, reste 1
- 12 ÷ 2 = 6, reste 0
- 6 ÷ 2 = 3, reste 0
- 3 ÷ 2 = 1, reste 1
- 1 ÷ 2 = 0, reste 1
En lisant les restes de bas en haut : 100 en décimal = 1100100 en binaire. La méthode fonctionne pour n’importe quel entier positif. Pour les grands nombres, elle reste la plus sûre car elle ne repose sur aucune mémorisation préalable, seulement sur des divisions entières répétées.
Représentation sur 8 bits et limite de l’octet
En pratique, les valeurs binaires ne flottent pas librement : elles sont encodées sur un nombre fixe de bits. Sur 8 bits (un octet), on peut représenter les entiers non signés de 0 à 255. 100 en décimal s’écrit alors sur 8 bits : 01100100.
Ce point devient concret dès qu’on travaille avec des couleurs RGB, des masques réseau ou des registres de microcontrôleur. Dépasser 255 sur un octet non signé provoque un dépassement de capacité, et le compteur repart à zéro. 256 s’écrit 100000000 en binaire – neuf bits – et ne tient plus dans un octet.
Un motif comme 11111111 représente 255 en entier non signé sur 8 bits, mais -1 en complément à deux sur 8 bits. Le même motif, deux valeurs différentes selon la convention choisie : toujours préciser si l’on travaille en signé ou non signé quand on lit une table binaire. Cette distinction est particulièrement critique dans les langages C et C++, où le type de la variable détermine l’interprétation du motif de bits sans avertissement du compilateur.
Binaire, octal et hexadécimal : les conversions rapides
L’hexadécimal (base 16) est utilisé partout où le binaire pur serait trop long à lire : adresses mémoire, couleurs web, identifiants matériels. La conversion entre binaire et hexadécimal est mécanique : on regroupe les bits par quatre.
- 0000 à 0111 correspondent à 0-7 en hexadécimal
- 1000 à 1111 correspondent à 8-F en hexadécimal
- 01100100 (100 décimal) se découpe en 0110 (= 6) et 0100 (= 4), soit 0x64 en hexadécimal
En octal (base 8), on regroupe les bits par trois. Ces deux bases servent de raccourci de lecture : un seul chiffre hexadécimal remplace quatre bits, un chiffre octal remplace trois bits.
Préfixes binaires et décimaux : une confusion courante en stockage
Un kilooctet (kB) désigne 1 000 octets selon la définition décimale, tandis qu’un kibioctet (KiB) désigne 1 024 octets, soit 2¹⁰. Cette distinction, normalisée par l’IEC, explique pourquoi un disque dur annoncé en gigaoctets (Go) affiche une capacité inférieure dans un système d’exploitation qui compte en gibioctets (GiB). La différence s’accumule avec les grandes capacités et peut atteindre plusieurs pourcents d’écart visible.
Pour un mémo pratique, retenir que les puissances de 2 commandent tout ce qui est binaire : 2¹⁰ = 1 024 (kilo binaire), 2²⁰ = 1 048 576 (méga binaire), 2³⁰ = 1 073 741 824 (giga binaire). Les préfixes décimaux arrondissent à la puissance de 10 la plus proche.
Garder cette table sous la main – avec 100₂ = 4, 100 décimal = 1100100₂, et les seuils des octets – couvre la grande majorité des situations rencontrées en programmation, réseaux ou électronique numérique.
Un dernier point utile en pratique : les compilateurs et débogueurs affichent souvent les valeurs en hexadécimal, rarement en binaire pur. Savoir convertir mentalement un octet en deux chiffres hexadécimaux (01100100 → 0x64) rend la lecture des traces mémoire ou des registres matériels nettement plus rapide qu’un recalcul en base 10.
